Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định với $BC$ cố định và $A$ di động trên $(O)$. $E,F$ lần lượt đối xứng với $B,C$ qua $CA,AB$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$.

a) Gọi $N$ là tâm Euler của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $K,A,N$ thẳng hàng.

b) Chứng minh khi $A$ di động thì $KA$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

a) Kẻ $AL$ vuông góc với $EF$ thì $AL,AK$ đẳng giác trong góc $EAF$. Từ đó suy ra :

$\angle KAF$$=\angle LAE$$\Rightarrow 180^0-\angle KAF$$=180^0-\angle LAE$$\Rightarrow \angle FAy$$=\angle EAx$$\Rightarrow \angle EAB+\angle BAx$$=\angle FAC+\angle CAy$

Trong đó $Ax,Ay$ theo thứ tự là tia đối của hai tia $AL,AK$

Hơn nữa cũng dễ dàng thấy rằng $\angle EAB=BAC=\angle FAC$ nên phải có $\angle BAx=\angle CAy$.

Điều này chứng tỏ $Ax,Ay$ hay $AK,AL$ là cặp đường đẳng giác trong góc $BAC$.

Mặt khác theo bài toán này thì $AL$ đẳng giác với $AN$ trong góc $BAC$. Vậy ta có $AN$ trùng $AK$ hay $K,A,N$ thẳng hàng.

b) Gọi $O^{\prime }$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$. Dễ chứng minh $A,N,O^{\prime }$ thẳng hàng bằng cách chỉ ra tứ giác $AH{O}^{\prime }O$ là hình bình hành.

Áp dụng kết quả câu a ta được $K,A,O^{\prime }$ thẳng hàng hay $AK$ luôn đi qua $O^{\prime }$ là một điểm cố định.