Inequality

Bài toán : Cho $x,y,z>0$. Chứng minh :

$\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}$$\ge \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Lời giải :

Ta có thể viết BĐT đã cho dưới dạng :

$\frac{y+z}{x}.\sqrt{(x+y)(z+x)}+\frac{z+x}{y}.\sqrt{(x+y)(y+z)}+\frac{x+y}{z}.\sqrt{(z+x)(y+z)}$$\ge 4(x+y+z)$

Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM :

$\frac{y+z}{x}.\sqrt{(x+y)(z+x)}$$\ge \frac{y+z}{x}.\left(\sqrt{yz}+x\right)$$=y+z+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}$$\ge y+z+\frac{2yz}{x}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z$$

Kết quả này quen thuộc.