Arithmetic Sequence

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2002)

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=20,x_2=30\\ x_{n+1}=3x_n-x_{n-1},\forall n\ge 2\end{array}$$

Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $5x_n{x}_{n+1}+1$ là số chính phương. 

Lời giải :

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp :

$$x_{n+2}{x}_n-x_{n+1}^2=500$$

Khi đó :

$(x_n+x_{n+1}{)}^2$$=x_n^2+x_{n+1}^2+2x_n{x}_{n+1}$$=x_n^2+x_{n+1}(3x_n-x_{n-1})+2x_n{x}_{n+1}$$=(x_n^2-x_{n-1}{x}_{n+1})+5x_n{x}_{n+1}$$=5x_n{x}_{n+1}-500$$<5x_n{x}_{n+1}+1$

Và :

$$(x_n+x_{n+1}+1{)}^2=(x_n+x_{n+1}{)}^2+2(x_n+x_{n+1})+1=5x_n{x}_{n+1}-499+2(x_n+x_{n+1})$$

Xét $n\ge 4$ thì $x_n+x_{n+1}\ge x_4+x_5=180+470=650$ (chú ý dãy $(x_n)$ tăng)

Do đó :

$$(x_n+x_{n+1}+1{)}^2\ge (5x_n{x}_{n+1}-499)+650>5x_n{x}_{n+1}+1$$

Vậy nên suy ra :

$$(x_n+x_{n+1}{)}^2<5x_n{x}_{n+1}+1<(x_n+x_{n+1}+1{)}^2$$

Trường hợp này không thể tìm được $n$ thỏa đề. Do đó $n\le 3$. Thử ta nhận $n=3$.