Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ : \[\left\{\begin{matrix} u_1=1,u_2=9\\ u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}^2+8}{u_n},\;\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.\] Chứng minh rằng $6u_n^2-2$ là một số chính phương. Lời giải : Xét dãy $(v_n)$ : \[\left\{\begin{matrix} v_1=1,v_2=9\\ v_{n+2}=10v_{n+1}-v_n \end{matrix}\right.\] Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng : \[v_{n+2}v_n-v_{n+1}^2=8\;\;\;\;(*)\] Với $n=1$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng. Gỉa sử $(*)$ đúng. Xét tiếp với $n+1$ : \[v_{n+3}v_{n+1}-v_{n+2}^2=v_{n+1}(10v_{n+2}-v_{n+1})-v_{n+2}^2=10v_{n+2}v_{n+1}-v_{n+2}^2+(8-v_{n+2}v_n)=8+v_{n+2}(10v_{n+1}-v_{n+2}-v_n)=8\] Theo nguyên lí quy nạp ta có $(*)$. Suy ra : \[v_{n+2}=\dfrac{v_{n+1}^2+8}{v_n}\] Hơn nữa chú ý $(v_n)$ và $(u_n)$ là duy nhất, kéo theo $(u_n)$ trùng với $(v_n)$. Như vậy $(u_n)$ được xác định : \[\left\{\begin{matrix} u_1=1,u_2=9\\ u_{n+2}=10u_{n+1}-u_n \end{matrix}\right.\] Giải phương trình sai phân này, ta được : \[u_n=\dfrac{3-\sqrt{6}}{6}.(5+2\sqrt{6})^n+\dfrac{3+\sqrt{6}}{6}.(5-2\sqrt{6})^n=\dfrac{\sqrt{3}\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2n}+\sqrt{3}\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2n}}{6}\] \[=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left [ \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )^{2n-1}+\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2n-1} \right ]\] Xét hai dãy nguyên dương $(A_n),(B_n)$ mà : \[\left ( \sqrt{3}\pm \sqrt{2} \right )^{2n-1}=A_n\sqrt{3}\pm B_n\sqrt{2}\] Khi đó dễ thấy $3A_n^2-2B_n^2=1$. Từ đó mà : \[u_n=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.2An\sqrt{3}=A_n\Rightarrow 6u_n^2-2=6A_n^2-2=4B_n^2\] Là một số chính phương. Ta được điều phải chứng minh.

Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số $(u_{n})$ :

$⎩ ⎨ ⎧ u_{1} = 1, u_{2} = 9 u_{n + 2} = \frac{u _{n + 1}^{2} + 8}{u _{n}}, \forall n \geq 1$

Chứng minh rằng $6 u_{n}^{2} - 2$ là một số chính phương.

Lời giải :

Xét dãy $(v_{n})$ :

${v_{1} = 1, v_{2} = 9 v_{n + 2} = 10 v_{n + 1} - v_{n}$

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng :

$v_{n + 2} v_{n} - v_{n + 1}^{2} = 8 (*)$

Với $n = 1$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng. Gỉa sử $(*)$ đúng. Xét tiếp với $n + 1$ :

$v_{n + 3} v_{n + 1} - v_{n + 2}^{2} = v_{n + 1} (10 v_{n + 2} - v_{n + 1}) - v_{n + 2}^{2} = 10 v_{n + 2} v_{n + 1} - v_{n + 2}^{2} + (8 - v_{n + 2} v_{n}) = 8 + v_{n + 2} (10 v_{n + 1} - v_{n + 2} - v_{n}) = 8$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $(*)$ . Suy ra :

$v_{n + 2} = \frac{v _{n + 1}^{2} + 8}{v _{n}}$

Hơn nữa chú ý $(v_{n})$ và $(u_{n})$ là duy nhất, kéo theo $(u_{n})$ trùng với $(v_{n})$ . Như vậy $(u_{n})$ được xác định :

${u_{1} = 1, u_{2} = 9 u_{n + 2} = 10 u_{n + 1} - u_{n}$

Giải phương trình sai phân này, ta được :

$u_{n} = \frac{3 - 6}{6} . (5 + 26)^{n} + \frac{3 + 6}{6} . (5 - 26)^{n} = \frac{3 ( 3 - 2 ) ( 3 + 2 ) ^{2 n} + 3 ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) ^{2 n}}{6}$

$= \frac{3}{6} [(3 + 2)^{2 n - 1} + (3 - 2)^{2 n - 1}]$

Xét hai dãy nguyên dương $(A_{n}), (B_{n})$ mà :

$(3 \pm 2)^{2 n - 1} = A_{n} 3 \pm B_{n} 2$

Khi đó dễ thấy $3 A_{n}^{2} - 2 B_{n}^{2} = 1$ .

Từ đó mà :

$u_{n} = \frac{3}{6} .2 A n 3 = A_{n} \Rightarrow 6 u_{n}^{2} - 2 = 6 A_{n}^{2} - 2 = 4 B_{n}^{2}$

Là một số chính phương. Ta được điều phải chứng minh.

Arithmetic Sequence

Đề bài

Mô tả