Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác, $P$ là một điểm di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. $PB$ cắt đường thẳng qua $C$ vuông góc $AC$ tại $E$. $PC$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng : Trung điểm của $EF$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường cao $BE,CF$. $P$ là một điểm thuộc $(O)$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $CF,BE$ tại $M,N$. Khi đó ta có $EF$ chia đôi $MN$.

Chứng minh bổ đề :

Gọi $J$ là giao của $EF,MN$ và $H$ là trực tâm tam giác.

Theo định lí Menelaus cho tam giác $MNH$ và đường thẳng $FJE$ :

$$\frac{JM}{JN}.\frac{EN}{EH}.\frac{FH}{FM}=1$$

Dễ thấy hai tam giác $MFB$ và $NEC$ đồng dạng nên :

$$\frac{EN}{MF}=\frac{EC}{FB}=\frac{EH}{FH}$$

Kết hợp cả hai điều trên ta được $JM=JN$. Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ vuông góc $AB$ và đường thẳng qua $C$ vuông góc $AC$.

Dễ thấy điểm $K$ thuộc $(O)$.

Gọi $S$ là điểm đối xứng với $A$ qua trung điểm $BC$. Ta thấy hai tam giác $ABC$ và $SCB$ đối xứng nhau qua trung điểm $BC$. Cũng dễ thấy $H,K$ đối xứng nhau qua trung điểm của $BC$. Ta suy ra được $K$ là trực tâm tam giác $SBC$.

Lần lượt gọi $X,Y$ là giao điểm của $(BK,SC),(CK,BS)$. Ta được tam giác $SBC$ nội tiếp $(BHC)$ có hai đường cao $BY,CX$.

Sử dụng bổ đề trên ta được $XY$ chia đôi $EF$. Tức là trung điểm của $EF$ luôn thuộc đường thẳng $XY$, dễ thấy đây là một đường thẳng cố định.