Geometry

Bài toán : Một điểm $B$ thay đổi trên dây $AC$ của đường tròn $(\omega )$. Đường tròn đường kính $AB,BC$ có tâm $O_1,O_2$ cắt $(\omega )$ tại $D,E$. Tia $O_{1}D$ và $O_{2}E$ cắt nhau tại $F$. Tia $AD,CE$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh $FG$ đi qua trung điểm của $AC$.

Lời giải :

Gọi $S$ là giao điểm của $FG$ với $AC$.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $FS{O}_2$ và đường thẳng $GEC$ :

$\frac{EF}{E{O}_2}.\frac{C{O}_2}{CS}.\frac{GS}{GF}$$=1$$\Rightarrow CS$$=\frac{EF.GS}{GF}(E{O}_2$$=C{O}_2)(1)$

Tương tự ta được :

$$AS=\frac{DF.GS}{GF}(2)$$

Chú ý bốn điểm $A,D,E,C$ đồng viên nên :

$$\angle GDE=\angle EC{O}_2=\angle O_{2}EC=\angle GEF,\angle GED=\angle DA{O}_1=\angle O_{1}DA=\angle GDF$$

Suy ra :

$$\angle EDF=\angle GDE+\angle GDF=\angle GED+\angle GEF=\angle DEF$$

Vậy ta được tam giác $EFD$ cân tại $F$, kéo theo $FE=FD$ $(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ suy ra $SA=SC$ tức $S$ là trung điểm của $AC$. Điều phải chứng minh.