Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp. Gọi $O_a,O_b,O_c$ theo thứ tự là tâm ngoại tiếp các tam giác $BOC,COA,AOB$. Chứng minh rằng $AO_a,BO_b,CO_c$ đồng quy tại $K_0$. Điểm $K_0$ nói trên là điểm Kosnita. Trong một tam giác, điểm Kosnita đẳng giác với tâm Euler của tam giác đó. Lời giải : Gọi $H,N$ lần lượt là trực tâm và tâm Euler của tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $AN$ cắt $OO_a$ tại $L$. Dễ thấy tứ giác $AHLO$ là hình bình hành nên $OL=AH=2OM$. Từ đó suy ra tam giác $OCL$ cân tại $C$. Ta được $\angle CLO=\angle COL=\angle OCO_a$. Từ đây ta suy ra : \[\Delta OCL\sim \Delta OO_aC\Rightarrow OC^2=OL.OO_a\Rightarrow OA^2=OL.OO_a\Rightarrow \Delta OAL\sim \Delta OO_aA\Rightarrow \angle OAN=\angle OAL=\angle OO_aA=\angle HAO_a\] Điều này chứng tỏ $AN,AO_a$ đẳng giác trong góc $HAO$. Mà $AH,AO$ đẳng giác trong góc $BAC$ nên $AN,AO_a$ đẳng giác trong góc $BAC$. Ta có các cặp đường đẳng giác $(AN,AO_a),(BN,BO_b),(CN,CO_c)$. Do $AN,BN,CN$ đồng quy tại $N$ nên $AO_a,BO_b,CO_c$ đồng quy.

Geometry

Đề bài

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ có $O$ là tâm ngoại tiếp. Gọi $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ theo thứ tự là tâm ngoại tiếp các tam giác $B O C, C O A, A O B$ . Chứng minh rằng $A O_{a}, B O_{b}, C O_{c}$ đồng quy tại $K_{0}$ .

Điểm $K_{0}$ nói trên là điểm Kosnita. Trong một tam giác, điểm Kosnita đẳng giác với tâm Euler của tam giác đó.

Lời giải :

Gọi $H, N$ lần lượt là trực tâm và tâm Euler của tam giác $A B C$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ , $A N$ cắt $O O_{a}$ tại $L$ .

Dễ thấy tứ giác $A H L O$ là hình bình hành nên $O L = A H = 2 O M$ . Từ đó suy ra tam giác $O C L$ cân tại $C$ . Ta được $∠ C L O = ∠ C O L = ∠ O C O_{a}$ .

Từ đây ta suy ra :

$Δ O C L \sim Δ O O_{a} C \Rightarrow O C^{2} = O L . O O_{a} \Rightarrow O A^{2} = O L . O O_{a} \Rightarrow Δ O A L \sim Δ O O_{a} A \Rightarrow ∠ O A N = ∠ O A L = ∠ O O_{a} A = ∠ H A O_{a}$

Điều này chứng tỏ $A N, A O_{a}$ đẳng giác trong góc $H A O$ . Mà $A H, A O$ đẳng giác trong góc $B A C$ nên $A N, A O_{a}$ đẳng giác trong góc $B A C$ .

Ta có các cặp đường đẳng giác $(A N, A O_{a}), (B N, B O_{b}), (C N, C O_{c})$ . Do $A N, B N, C N$ đồng quy tại $N$ nên $A O_{a}, B O_{b}, C O_{c}$ đồng quy.

Mô tả

Bài toán : Cho tam giác có là tâm ngoại tiếp. Gọi theo thứ tự là tâm ngoại tiếp các tam giác . Chứng minh rằng đồng quy tại . Điểm nói trên là điểm Kosnita. Trong một tam giác, điểm Kosnita đẳng giác với tâm Euler của tam giác đó. Lời giải : Gọi […]

Hình học phẳngThẳng hàng - Đồng quy

Nguồn: julielltv