Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, tỉnh Khánh Hòa)

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+2f(y))=f(x)+f(y)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Cố định $x$ trong $(1)$. Gỉa sử với mọi số thực $a,b$ mà $f(a)=f(b)$. Ta có :

$$f(f(x)+2f(a))=f(f(x)+2f(b))\Rightarrow f(x)+f(a)+a=f(x)+f(b)+b\Rightarrow a=b$$

Suy ra $f$ đơn ánh.

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-f(x)$ :

$$f(f(x)+2f(-f(x))=f(-f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do $f$ đơn ánh nên $f(x)+2f(-f(x))=-f(x)\Rightarrow f(-f(x))=-f(x),\forall x\in \mathbb{R}$.

Trong $(1)$ thay $x=-f(y)$ được :

$$f(f(-f(y))+2f(y))=f(-f(y))+y+f(y)\Rightarrow f(f(y))=y,\forall y\in \mathbb{R}$$

Suy ra $f$ toàn ánh.

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-f(x)$ và chú ý tính song ánh của $f$ :

$f(f(x)+2f(-f(x)))$$=f(-f(x)),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x)+2f(-f(x))$$=f(-f(x)),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(-f(x))$$=-f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x)$$=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Thử lại thỏa mãn. Vậy có đúng một hàm thỏa đề là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$