Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\left(0,+\infty \right)\to \left(0,+\infty \right)$ và thỏa mãn :

$$yf(yf(x))=f(f(x)),\forall x,y\in \left(0,+\infty \right)(1)$$

Lời giải :

Từ giả thiết ta có :

$$\frac{f(f(x))}{f(yf(x))}=y,\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Nhận thấy vế phải là một hàm bậc nhất và nhận mọi giá trị trên $\mathbb{R}$. Từ đó với mọi số thực dương $t$, luôn tồn tại hai số thực dương $u,v$ sao cho :

$$t=\frac{f(u)}{f(v)}$$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $\frac{1}{f(y)}$ được :

$\frac{1}{f(y)}f\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)$$=f(f(x)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(2)$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $\frac{1}{f(x)}$ được :

$$\frac{1}{f(x)}f\left(1\right)=f(f(x)),\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}(3)$$

Từ $(2)(3)$ suy ra :

$$f\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)=\frac{f(y)}{f(x)}.f(1),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Từ đó mà :

$f(t)$$=f\left(\frac{f(u)}{f(v)}\right)$$=\frac{f(v)}{f(u)}.f(1)$$=\frac{a}{t},\forall t\in {\mathbb{R}}^{+},a$$=const$

Thử lại thỏa mãn. Vậy hàm số thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=\frac{a}{x},\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},a=const$$