Geometry

Bài toán (Chọn học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN 2011-2012)

Tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$. $P$ là điểm bất kỳ trong tam giác $ABC$ và không trùng $O$. $AP$ cắt $(O)$ tại $D$. $DE,AF$ là đường kính của $(O)$. $EP,FP$ lần lượt cắt $(O)$ tại $G,H$. Gọi $K$ là giao của $AH,GD$. $L$ là hình chiếu của $K$ trên $OP$.

a) Chứng minh bốn điểm $A,L,K,D$ cùng thuộc một đường tròn. Gọi đường tròn này là $(S)$.

b) Chứng minh $OP,EF$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(S)$.

Lời giải :

a) Dễ thấy năm điểm $H,P,G,L,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PK$.

Theo định lí sin trong tam giác $LHG$ :

$\frac{HL}{sin\angle HGL}$$=\frac{LG}{sin\angle LHG}$$\Rightarrow \frac{HL}{LG}$$=\frac{sin\angle HGL}{sin\angle LHG}$$=\frac{sin\angle HPL}{sin\angle LPG}$$=\frac{sin\angle OPF}{sin\angle OPE}$

Theo định lí sin trong hai tam giác $OPE,OPF$ :

$\frac{OP}{sin\angle OEP}$$=\frac{OE}{sin\angle OPE},\frac{OP}{sin\angle OFP}$$=\frac{OF}{sin\angle OPF}$$\Rightarrow \frac{sin\angle OPF}{sin\angle OPE}$$=\frac{sin\angle OFP}{sin\angle OEP}$

Chú ý nếu gọi $R$ là bán kính của $(O)$, theo định lí sin trong các tam giác $EGD,AHF$ :

$$\frac{HA}{GD}=\frac{2R.sin\angle OFP}{2R.sin\angle OEP}=\frac{sin\angle OFP}{sin\angle OEP}$$

Từ các ý trên, ta suy ra :

$$\frac{HL}{GL}=\frac{HA}{GD}(1)$$

Do bốn điểm $H,G,L,K$ đồng viên nên :

$\angle KHL$$=\angle KGL$$\Rightarrow \angle AHL$$=180^0-\angle KHL$$=180^0-\angle KGL$$=\angle DGL(2)$

Từ $(1)(2)$ ta được hai tam giác $AHL,DGL$ đồng dạng. Kéo theo :

$$\angle HAL=\angle GDL$$

Vậy bốn điểm $A,K,L,D$ đồng viên.

b) Dễ thấy $\angle GLP=\angle GHP=\angle GET$ nên bốn điểm $G,L,E,T$ đồng viên. Do đó mà :

$$PL.PT=PG.PE$$

Hơn nữa có $PG.PE=PA.PD$ do bốn điểm $A,E,G,D$ cùng thuộc $(O)$. Suy ra $PL.PT=PA.PD$.

Hay $ATDL$ nội tiếp, tức là $T$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADKL$.