Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn thay đổi qua $B,C$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $D,E$. Tiếp tuyến tại $D,E$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng khi đường tròn qua $B,C$ thay đổi, điểm $P$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải :

Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,DE$. Ta có $DE,BC$ là hai đường đối song nên trung tuyến $AN$ của tam giác $ADE$ sẽ đẳng giác với trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ trong góc $A$.

Hơn nữa $P$ là giao hai tiếp tuyến tại $D,E$ của đường tròn $(ADE)$ nên $AP$ là đường đối trung của tam giác $ADE$, suy ra $AP$ đẳng giác với trung tuyến $AN$.

Từ hai điều trên suy ra $AP$ trùng $AM$. Tức $P$ luôn thuộc trung tuyến $AM$ cố định.