Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có các phân giác trong $AM,BN,CP$ thỏa mãn $MN$ vuông góc $MP$. Tính góc $BAC$.

Lời giải :

Gọi $G$ là giao của $PN$ và $BC$. Do $AM,BN,CP$ đồng quy tại tâm nội tiếp tam giác nên $(GMBC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần)

Hơn nữa do $MN$ vuông góc $MP$ nên theo định lí về chùm điều hòa ta có $MP$ là phân giác góc $AMB$.

Theo tính chất phân giác :

$\frac{AP}{PB}$$=\frac{AM}{MB}$$=\frac{sin\angle B}{sin\frac{\angle A}{2}},\frac{AP}{PB}$$=\frac{AC}{BC}$$=\frac{sin\angle B}{sin\angle A}$

Từ đó suy ra :

$$sin\angle A=sin\frac{\angle A}{2}\Rightarrow \angle BAC=120^0$$