Geometry

Bài toán (IMO Shortlist 2011)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $AD$ không song song $BC$. Các đường tròn đường kính $AB,CD$ cắt nhau tại $E,F$ nằm trong tứ giác. Gọi ${\omega }_E,{\omega }_F$ lần lượt là đường tròn đi qua các hình chiếu của $E$ trên $AB,BC,CD$, của $F$ trên $CD,DA,AB$. Chứng minh rằng hai giao điểm của ${\omega }_E,{\omega }_F$ cùng với trung điểm của $EF$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Lời giải :

Gọi $R,S,T$ là chân vuông góc của $E$ xuống $AB,BC,CD$, $R^{\prime },S^{\prime },T^{\prime }$ là chân vuông góc của $F$ xuống $AB,AD,DC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $G$ là trung điểm của $AF$.

Gọi giao của $RG$ với ${\omega }_E$ là $U$.

Dễ thấy tứ giác $ERMG$ nội tiếp do có hai góc đối $R,G$ đều vuông, kéo theo

$$\angle RGE=\angle RME=2\angle MBE=2\angle RSE$$

Gọi $X$ là trung điểm của $CD$, dễ có :

$$\angle EGT=\angle EXT=\angle XEC+\angle XCE=2\angle XCE=2\angle \angle EST$$

Từ đó suy ra :

$$\angle RGT=2\left(\angle RSE+\angle EST\right)=2\angle RST=2\angle RUT=2\angle GUT$$

Điều này chứng tỏ rằng tam giác $GTU$ cân tại $G$, suy ra $GT=GU$.

Do đó ta được :

$$P_{G/({\omega }_E)}=RG.GU=RG.GT$$

Tương tự $P_{G/({\omega }_F)}=R^{\prime }G.T^{\prime }G$. Cũng dễ dàng chứng minh $RG=R^{\prime }G,TG=T^{\prime }G$. Như vậy $P_{G/({\omega }_E)}=P_{G/({\omega }_F)}$

Điều này cho thấy $G$ nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn. Ta có điều phải chứng minh.