Inequality

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2011)

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0$$

Lời giải :

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{1}{2}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{1}{2}$$=\frac{(2x+1{)}^2}{4x^2+2}+\frac{(2y+1{)}^2}{4y^2+2}$$\ge \frac{(2x+2y+2{)}^2}{4(x^2+y^2+1)}$$=\frac{(z-1{)}^2}{x^2+y^2+1}$

Cần chỉ ra :

$\frac{(1-z{)}^2}{x^2+y^2+1}$$\ge 1-\frac{z(z+2)}{2z^2+1}$$=\frac{(1-z{)}^2}{2z^2+1}$$\iff x^2+y^2+1$$\le 2z^2+1$$\iff x^2+y^2$$\le z^2$

Điều này luôn đúng vì ta hoàn toàn có thể giả sử $|z|=max\left\{|x|,|y|,|z|\right\}$

Ta có điều phải chứng minh.