Functional Equation

Bài toán (Macedonia National Olympiad 2011)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :
Xét $f$ là hàm hằng, dễ tìm được $f\equiv 0$. Xét $f$ không hằng.

Ta chứng minh nếu $x\ne 0$ thì $f(x)\ne 0$.

Thật vậy, giả sử $\exists a\ne 0:f(a)=0$. Trong $(1)$ lấy $x=a$ thì :

$$af(y)=0,\forall y\in \mathbb{R}\Rightarrow a=0$$

Do ta đang xét $f$ không hằng. Từ đó trong $(1)$ thay $y=1-\frac{x}{f(x)}$ được :

$f\left(x+\frac{(f(x)-x).f(x)}{f(x)}\right)$$=f(f(x))+xf\left(\frac{f(x)-x}{f(x)}\right),\forall x$$\ne 0$

$$\iff xf\left(\frac{f(x)-x}{f(x)}\right)=0,\forall x\ne 0$$

$$\iff f(k)=0,\forall x\ne 0,k=\frac{f(x)-x}{f(x)}$$

Từ đó trong $(1)$ thay $x$ bởi $k$ và chú ý $f(k)=0$ ta được :

$$kf(y)=0,\forall x\ne 0,y\in \mathbb{R}\Rightarrow k=0$$

Hay

$$\frac{f(x)-x}{f(x)}=0,\forall x\ne 0\Rightarrow f(x)=x,\forall x\ne 0$$.

Mà $f(0)=0$ nên $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$