Functional Equation

Bài toán (Spain Mathematical Olympiad 2012)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$(x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Nếu $f(0)=0$, trong $(1)$ lấy $x=0$ thì được $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(0)\ne 0$

Ta chứng minh $f$ đơn ánh. Thực vậy, trong $(1)$ cho $y=0$ được :

$$(x-2)f(0)+f(2f(x))=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Với mọi số thực $x_1,x_2$ thỏa $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f(2f(x_1))=f(2f(x_2))$

Suy ra :

$$(x_1-2)f(0)=(x_2-2)f(0)\Rightarrow x_1=x_2$$

Như vậy ta có $f$ là đơn ánh. Trong $(1)$ cho $x=2,y=1$ được :

$$f(1+2f(2))=f(2+f(2))\Rightarrow 1+2f(2)=2+f(2)\Rightarrow f(2)=1$$

Nhận thấy nếu $f(x)=1,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=1=f(2),\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow x=2,\forall x\in \mathbb{R}$. Điều này vô lí. Do đó ta có $f(x)\ne 1,\forall x\ne 2$

Ta sử dụng kĩ thuật thế triệt tiêu như sau :

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $\frac{2f(x)-x}{f(x)-1}$ được :

$\left(x-2\right)f\left(\frac{2f(x)-x}{f(x)-1}\right)+f\left(\frac{2f(x)-x}{f(x)-1}+2f(x)\right)$$=f\left(x+f(x).\frac{2f(x)-x}{f(x)-1}\right),\forall x$$\ne 2$$\iff \left(x-2\right)f\left(\frac{2f(x)-x}{f(x)-1}\right)$$=0,\forall x$$\ne 2$$\iff f(a)$$=0,a$$=\frac{2f(x)-x}{f(x)-1},\forall x$$\ne 2$

Trong $(1)$ cho $x=a,y=2$ được :

$(a-2)f(2)+f(2+2f(a))$$=f(a+2f(a))$$=0$$\iff a$$=1$$\iff \frac{2f(x)-x}{f(x)-1}$$=1,\forall x$$\ne 2$$\iff f(x)$$=x-1,\forall x$$\ne 2$

Hơn nữa kiểm tra trực tiếp $x=2$ thỏa mãn hàm trên. Do đó các hàm thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=x-1,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$