Functional Equation

Bài toán (Switzerland Final Round 2010)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+f(y))=2y+f(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y$ được :

$$f(2f(x))=2x+f(0),\forall x\in \mathbb{R}$$

Với mọi số thực $a,b$ mà $f(a)=f(b)$ ta đều có :

$$f(2f(a))=f(2f(b))\Rightarrow 2a+f(0)=2b+f(0)\Rightarrow a=b$$

Như vậy $f$ là đơn ánh. Từ đó trong $(1)$ cho $x=y=0$ ta được :

$$f(2f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$$

Từ đó trong $(1)$ lại cho $y=0$ được :

$$f(f(x)+f(0))=f(x),\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Đáp số của bài toán là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$