Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=2f(xf(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trước hết nếu có một số thực $a$ mà $f(a)=0$ thì ở $(1)$ lấy $y=a$ được :

$$f(x)=2f(0)$$

Ta tìm được ngay hàm $f(x)$. Ta sẽ tìm số $a$ như sau.

Ta sẽ chọn $x,y$ phù hợp để $f(x+f(y))$ bị triệt tiêu. Muốn vậy phải chọn :

$$x+f(y)=xf(y)\Rightarrow x=\frac{f(y)}{f(y)-1}$$

Ta thấy hàm $f$ đồng nhất $1$ không thỏa mãn. Do đó $\exists u\in \mathbb{R}:f(u)\ne 1$.

Trong $(1)$ cho $x=\frac{f(u)}{f(u)-1},y=u$ ta được :

$f\left(\frac{f(u)}{f(u)-1}+f(u)\right)$$=2f\left(\frac{f(u).f(u)}{f(u)-1}\right)$$\iff f\left(\frac{f^2(u)}{f(u)-1}\right)$$=0$$\iff f(v)$$=0,v$$=\frac{f^2(u)}{f(u)-1}$

Trong $(1)$ lấy $x=0,y=v$ được $f(0)=0$. Trong $(1)$ cho $y=0$ được :

$$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$

Thử lại thỏa mãn. Đó cũng là hàm số duy nhất thỏa mãn bài toán.