Functional Equation

Bài toán (Moldova Team Selection Test 2014)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Ý tưởng làm gọn phương trình hàm đơn giản nhất là ta tìm cách triệt tiêu $f(xf(y)+y),f(x+y)$ bằng cách chọn $x,y$ phù hợp. Muốn vậy :

$$xf(y)+y=x+y\iff f(y)=1$$

Như vậy ta phải tìm một số $a$ để $f(a)=1$.

Trong $(1)$ lấy $x=1,y=1/2$ được :

$f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}+1\right)$$=f\left(1+\frac{1}{2}\right)+\mathrm{2.1.}\frac{1}{2}$$\iff f(a)$$=1,a$$=f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$

Vậy trong $(1)$ ta chọn $y=a$ thì :

$f(ax+x)$$=2xa,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f\left(x(a+1)\right)$$=2ax,\forall x\in \mathbb{R}$

Thay $x$ bởi $\frac{x}{a+1}$ thì được :

$$f\left(x\right)=\frac{2ax}{a+1}=cx,\forall x\in \mathbb{R},c=const$$

Thay vào $(1)$ tìm được $c\in \left\{1,-2\right\}$. Có hai hàm thỏa bài ra là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=-2x,\forall x\in \mathbb{R}$$