Functional Equation

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic Duyên hải Bắc Bộ toán 11 năm 2012-2013)

Cho $\alpha ,\beta$ là các số thực dương. Tìm hàm số $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$f(x)f(y)$$=y^{\alpha }f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta }f\left(\frac{y}{2}\right),\forall x,y$$>2(1)$

Lời giải :

Trường hợp $\alpha =\beta$ thì trong $(1)$ lấy $x=y$ được :

$f^2(x)$$=2x^{\alpha }f\left(\frac{x}{2}\right),\forall x$$>2$$\iff f\left(\frac{x}{2}\right)$$=\frac{f^2(x)}{2x^{\alpha }},\forall x$$>2$

Từ đó $(1)$ được viết thành :

$f(x)f(y)$$=y^{\alpha }\frac{f^2(x)}{2x^{\alpha }}+x^{\alpha }\frac{f^2(y)}{2y^{\alpha }},\forall x,y$$>2$$\iff {\left(f(x).\sqrt{\frac{y^{\alpha }}{x^{\alpha }}}-f(y).\sqrt{\frac{x^{\alpha }}{y^{\alpha }}}\right)}^2$$=0,\forall x,y$$>2$$\iff \frac{f(x)}{x^{\alpha }}$$=\frac{f(y)}{y^{\alpha }},\forall x,y$$>2$$\iff f(x)$$=c{x}^{\alpha },\forall x$$>2,c$$=const$

Thay vào $(1)$ tìm được $c\in \left\{0,\frac{1}{2^{\alpha -1}}\right\}$

Trường hợp $\alpha \ne \beta$ thì trong $(1)$ đổi chỗ $x,y$ cho nhau :

$f(y)f(x)$$=x^{\alpha }f\left(\frac{y}{2}\right)+y^{\beta }f\left(\frac{x}{2}\right),\forall x,y$$>2$

Từ đó suy ra :

$x^{\alpha }f\left(\frac{y}{2}\right)+y^{\beta }f\left(\frac{x}{2}\right)$$=y^{\alpha }f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta }f\left(\frac{y}{2}\right),\forall x,y$$>2$$\iff \frac{f(x/2)}{x^{\alpha }-x^{\beta }}$$=\frac{f(y/2)}{y^{\alpha }-y^{\beta }},\forall x,y$$>2$$\iff f(x)$$=c((2x{)}^{\alpha }-(2x{)}^{\beta }),\forall x,y$$>2,c$$=const$

Thay vào $(1)$ tìm được $c=0$. Kết luận bài toán :

Nếu $\alpha =\beta$ thì có hai hàm thỏa bài toán là :

$$f(x)\equiv 0,f(x)\equiv \frac{x}{2^{\alpha -1}}$$

Nếu $\alpha \ne \beta$ thì có duy nhất hàm $f(x)\equiv 0$ thỏa mãn bài toán.