Number Theory

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương : 

$$\frac{x+1}{y}+\frac{y+3}{x}=6$$ 

Lời giải : 

Biến đổi phương trình về dạng bậc hai ẩn $x$ và tham số $y$ : $$x^2+x(1-6y)+y^2+3y=0$$ Phương trình này có $\Delta =(1-6y{)}^2-4(y^2+3y)=32y^2-24+1$. Ta chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại vô hạn các số nguyên dương $y$ sao cho biểu thức $\Delta$ là số chính phương.Hay chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương :

$$32y^2-24y+1=k^2\iff (8y-3{)}^2-2k^2=7$$ Ta xây dựng hai dãy số $(x_n),(y_n)$ như sau : $$\{\begin{array}{c}{x}_0=3,y_0=1\\ x_{n+1}=3x_n+4y_n\\ y_{n+1}=2x_n+3y_n\end{array}$$ Khi ấy ta có : $$x_{n+1}^2-2y_{n+1}^2=(3x_n+4y_n{)}^2-2(2x_n+3y_n{)}^2=x_n^2-2y_n^2=...=x_0^2-2y_0^2=7$$ Điều này chứng tỏ phương trình dạng : $$X^2-2Y^2=7$$ có vô hạn nghiệm nguyên dương. Tiếp theo ta chỉ cần chứng tỏ có vô số số hạng của dãy $(x_n)$ có dạng $8t-3$ thì bài toán được giải quyết trọn vẹn. Ta chứng minh dãy $(x_{2k})$ chứa toàn những số hạng có dạng $8t-3$. Thật vậy, ta có : $$x_{n+1}=3x_n+4y_n=9x_{n-1}+12y_{n-1}+4y_n=9x_{n-1}+8y_{n-1}+4(y_n+y_{n-1})\equiv x_{n-1}(mod8)$$ Suy ra : $$x_{2k}\equiv x_2=13\equiv -3(mod8)$$ với mọi số nguyên dương $k$. Ta có điều phải chứng minh. Nhận xét : 

Ta có phương pháp để chọn ra các dãy $(x_n),(y_n)$ như sau : Phương trình nghiệm nguyên có dạng : $$X^2-k{Y}^2=m(1)$$ với $m$ là số nguyên , $k$ là số nguyên dương không chính phương. Nếu $(1)$ có nghiệm nguyên dương là $(A,B)$. Và nếu phương trình Pell dạng $X^2-k{Y}^2=1$ có nghiệm nguyên dương là $(C,D)$.Ta chứng minh được phương trình $(1)$ có vô số nghiệm nguyên dương bằng cách xét các dãy :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=A,y_0=B\\ x_{n+1}=C{x}_n+kD{y}_n\\ y_{n+1}=D{x}_n+C{y}_n\end{array}$$ Vì khi ấy : $$x_{n+1}^2-k{y}_{n+1}^2=x_n^2-k{y}_n^2=...=x_0^2-k{y}_0^2=m$$