Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=38,u_2=161\\ u_{n+2}=4u_{n+1}+u_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, luôn tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $u_n-1$ và $u_{n+1}-2$ đều chia hết cho $m$.

Lời giải :

Xét dãy $(v_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{v}_1=1,v_2=2\\ v_{n+2}=4v_{n+1}+v_n,\forall n\ge 1\end{array}$$

Dễ thấy :

$$v_{n+3}=u_n,\forall n\ge 1$$

Vậy ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương $n\ge 2$ mà :

$$v_n-1\equiv v_{n+1}-2\equiv 0(modm)$$

Theo bài toán này, ta chứng minh được dãy số dư  khi chia $v_n$ cho $m$ là một dãy tuần hoàn.

Từ đó tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho :

$v_1-v_{k+1}$$\equiv v_2-v_{k+2}$$\equiv 0(modm)$$\Rightarrow v_{k+1}-1$$\equiv v_{k+2}-2$$\equiv 0(modm)$

Bài toán hoàn tất.