Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_0=1,u_1=3$ và : \[u_{n+1}^2+4u_{n+1}=u_n+u_{n-1}+2\sqrt{(u_n+2)(u_{n-1}+2)}\] Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Biến đổi công thức xác định dãy : \[(u_{n+1}+2)^2=\left ( \sqrt{u_n+2}+\sqrt{u_{n-1}+2} \right )^2\Rightarrow u_{n+1}+2=\sqrt{u_n+2}+\sqrt{u_{n-1}+2}\] Đặt $x_n=u_{n}+2$ ta được $x_0=3,x_1=5$ \[x_{n+1}=\sqrt{x_n}+\sqrt{x_{n-1}}\] Xét dãy $(a_n),(b_n)$ như sau : \[(a_n):\left\{\begin{matrix} a_0=3\\ a_n=2\sqrt{a_{n-1}} \end{matrix}\right.\] và \[(b_n):\left\{\begin{matrix} b_0=5\\ b_n=2\sqrt{b_{n-1}} \end{matrix}\right.\] Bằng quy nạp ta được $a_n< 4,\;\forall n\in \mathbb{N}$. Từ đó : \[a_n-a_{n-1}=\sqrt{a_{n-1}}\left ( 2-\sqrt{a_{n-1}} \right )> 0\] Tức dãy $(a_n)$ tăng, kết hợp với việc $(a_n)$ bị chặn trên bởi $4$ suy ra $(a_n)$ hội tụ, giả sử $L$ là giới hạn hữu hạn của nó. Giải phương trình giới hạn ta được $L\in \left \{ 0,4 \right \}$. Do : \[0<a_0<a_1<....<a_n<...\] nên ta có $a_n\rightarrow 4$. Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $b_n> 4,\;\forall n\in \mathbb{N}$, $(b_n)$ giảm và $b_n\rightarrow 4$. Tiếp theo ta dễ dàng chứng minh : \[a_n\leq min\left \{ x_{2n},x_{2n+1} \right \},\;\forall n\in \mathbb{N}\] \[b_n\geq max\left \{ x_{2n},x_{2n+1} \right \},\;\forall n\in \mathbb{N}\] Sử dụng nguyên lí kẹp ta được \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}x_n=4\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n=2\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{0} = 1, u_{1} = 3$ và :

$u_{n + 1}^{2} + 4 u_{n + 1} = u_{n} + u_{n - 1} + 2 (u_{n} + 2) (u_{n - 1} + 2)$

Chứng minh rằng dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Lời giải :

Biến đổi công thức xác định dãy :

$(u_{n + 1} + 2)^{2} = (u_{n} + 2 + u_{n - 1} + 2)^{2} \Rightarrow u_{n + 1} + 2 = u_{n} + 2 + u_{n - 1} + 2$

Đặt $x_{n} = u_{n} + 2$ ta được $x_{0} = 3, x_{1} = 5$

$x_{n + 1} = x_{n} + x_{n - 1}$

Xét dãy $(a_{n}), (b_{n})$ như sau :

$(a_{n}) : {a_{0} = 3 a_{n} = 2 a_{n - 1}$ và $(b_{n}) : {b_{0} = 5 b_{n} = 2 b_{n - 1}$

Bằng quy nạp ta được $a_{n} < 4, \forall n \in N$ .

Từ đó :

$a_{n} - a_{n - 1} = a_{n - 1} (2 - a_{n - 1}) > 0$

Tức dãy $(a_{n})$ tăng, kết hợp với việc $(a_{n})$ bị chặn trên bởi $4$ suy ra $(a_{n})$ hội tụ, giả sử $L$ là giới hạn hữu hạn của nó. Giải phương trình giới hạn ta được $L \in {0, 4}$ . Do :

$0 < a_{0} < a_{1} < .... < a_{n} < ...$

nên ta có $a_{n} \to 4$ .

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $b_{n} > 4, \forall n \in N$ , $(b_{n})$ giảm và $b_{n} \to 4$ .

Tiếp theo ta dễ dàng chứng minh :

$a_{n} \leq min {x_{2 n}, x_{2 n + 1}}, \forall n \in N$

$b_{n} \geq ma x {x_{2 n}, x_{2 n + 1}}, \forall n \in N$

Sử dụng nguyên lí kẹp ta được

$n \to + \infty lim x_{n} = 4 \Rightarrow n \to + \infty lim u_{n} = 2$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả