Number Theory

Bài toán (Macedonia National Olympiad 2010)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

$$x^3+2y^3-4x-5y+z^2=2012$$

Lời giải :

Xét đồng dư theo modulo $3$ :

$$x^3+2y^3-4x-5y+z^2\equiv x^3+2y^3-x-2y+z^2=x(x-1)(x+1)+2y(y-1)(y+1)+z^2\equiv 0,1(mod3)$$

Trong khi đó $2012\equiv 2(mod3)$.

Phương trình không có nghiệm nguyên.