1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (CĐT Olympic 30-4 toán 11 năm 2013-2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh tỉnh Đồng Nai) Giải phương trình: Lời giải : Phương trình được viết lại : Đặt Do vậy ta được phương trình : Nếu Nếu Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
Bài toán : Cho hình chóp có đáy là hình thang , không song song với . Gọi là điểm trên cạnh . Gọi là giao điểm của với mặt phẳng . Gọi là giao điểm của với , là giao điểm của với . Chứng minh rằng thẳng hàng. Lời giải : Trước tiên, […]
Bài toán : Giải hệ phương trình . Lời giải : Đặt , phương trình đầu trở thành Theo : Chia hai vế cho ta được : Thay vào phương trình sau của hệ : Đặt ta được phương trình Nếu ta được , dẫn đến Nếu thì mâu thuẫn vì . Thử lại, ta kết luận tập […]
Bài toán : Cho tam giác ngoại tiếp , là điểm tiếp xúc của với . Gọi là một điểm thuộc đoạn . Đường thẳng theo thứ tự cắt tại sao cho . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Gọi là hai tiếp điểm với của . Gọi là giao điểm của . […]
Bài toán : Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn , lần lượt là tiếp điểm của với . cắt tại , theo thứ tự cắt tại . lần lượt cắt tại . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Gọi là giao điểm của với . Ta có Mặt khác ta thấy là […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Nhận xét rằng Nếu thì , mâu thuẫn. Do vậy phải có . Đặt (vì $x>0$) Khi đó phương trình đầu viết thành : . Kiểm tra được hàm số đồng biến trên , chính vì vậy . Ta được hệ sau Đặt . Chú ý rằng nên . Để […]
Bài toán : Cho đường tròn nội tiếp của tam giác . Gọi là trung điểm của . cắt tại hai điểm ( nằm giữa ). Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại điểm thứ hai là . Qua , kẻ đường thẳng song song với cắt tại điểm thứ hai là . […]
Bài toán (IMO Shortlist 1994) Cho tam giác có lần lượt là tiếp điểm trên của đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi là một điểm bên trong tam giác sao cho đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với tại , tiếp xúc với theo thứ tự tại . Chứng minh đồng viên. […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp. lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Khi thì kết quả là hiển nhiên. Xét không song song. Gọi . Ta có […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn có là các đường cao. Gọi là giao điểm của . Đường thẳng qua song song với cắt tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng đồng viên. Lời giải : Ta có đồng quy nên (hàng điều hòa tứ giác toàn phần) Nên theo […]
Bài toán : Tìm số nguyên dương sao cho . Lời giải : Hiển nhiên thỏa mãn. Xét , khi đó có ước nguyên tố nhỏ nhất, gọi ước nguyên tố nhỏ nhất đó là . Gọi là nghịch đảo của modulo , tức là . Ta có Nếu thì (vô lí). Vậy và vì nên . Theo định […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn với các đường cao cắt nhau tại . Gọi lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng và ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Lời giải : Bổ đề : Cho tam […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt ta được hệ Nhận xét không là nghiệm của hệ. Xét . Chia hai vế của cho , ta được : Đặt , dễ dàng thấy rằng . Khi đó ta thu được : Chú ý vì ta được nên phải có Tức là Thay vào […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp. lần lượt là giao điểm của các cặp . lần lượt là trung điểm của . Gọi lần lượt là giao của với . Chứng minh rằng đồng viên. Lời giải : Gọi là giao điểm của . Gọi là giao điểm của với . Ta có […]
Bài toán : Cho đa thức có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của . Xét họ đa thức : Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên sao cho biểu diễn được dưới dạng : Lời giải : Vì nhận giá trị nguyên với mọi nguyên […]
Bài toán : (Gặp gỡ Toán học lần IV) Cho điểm nằm ngoài đường tròn . là tiếp tuyến của kẻ từ , là cát tuyến. là đường kính của . Gọi là giao điểm của với . Chứng minh rằng vuông góc với . Lời giải : Kẻ tiếp tuyến đến ( là tiếp […]
Bài toán (Đề thi Olympic 30-4 chính thức môn toán 10 năm 2012) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn : Lời giải : Trong cho được Trong cho được Trong cho được Trong cho được Ta dự đoán . Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp. Với thì theo trên khẳng định đúng. […]
Bài toán (Thi HSG Toán 12 vòng 2 năm 2013-2014 tỉnh Đồng Nai) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn : Lời giải : Ta có . Nếu . Mâu thuẫn vì . Do vậy và . Mà Ta cũng có . Ta chứng minh bằng quy nạp . Với thì khẳng định là hiển nhiên. Gỉa sử khẳng định […]
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC [Mọi người click vào số thự tự bài để xem đáp án nha] Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Bài 3 : Tìm tất cả các hàm và thỏa […]
Bài 1 : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn : Bài 2 : Cho , tìm tất cả các đa thức thỏa mãn : Bài 3 : Tìm đa thức hệ số thực sao cho : Bài 4 : Tìm đa thức và thỏa mãn : Với mọi và thỏa mãn Bài 5 : […]