Geometry

Bài toán : (Gặp gỡ Toán học lần IV) Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. $PC$ là tiếp tuyến của $(O)$ kẻ từ $P$, $PAB$ là cát tuyến. $CD$ là đường kính của $(O)$. Gọi $E$ là giao điểm của $PO$ với $BD$. Chứng minh rằng $CE$ vuông góc với $CA$.

Lời giải :

Kẻ tiếp tuyến $PG$ đến $(O)$ ($G$ là tiếp điểm)

Gọi $I$ là giao điểm của $PO$ với $AD$. Dễ thấy $DG\parallel IE$ (cùng vuông góc với $GC$)

Dễ thấy $ACBG$ là tứ giác điều hòa nên $D\left(BACG\right)=-1$ mà đường thẳng $PO$ cắt $DA,DB,DC$ lần lượt tại $I,E,O$ và $DG\parallel IE$ nên $O$ là trung điểm của $IE$.

Kết hợp với $O$ là trung điểm của $CD$ ta có $CIDE$ là hình bình hành.

Suy ra $CE\parallel AD$ mà $CA\perp AD$ nên $CE\perp AC$ (điều phải chứng minh)