Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nhọn với các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $DE,CF$ và $DF,BE$ ; $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Chứng minh rằng hai đường thẳng $OA$ và $MN$ vuông góc với nhau.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ có $E$ là tâm đường tròn Euler, $H$ là trực tâm. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Khi đó ta có $A,E,O$ thẳng hàng.

Chứng minh bổ đề :

Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $K$ là giao điểm của tia $AH$ với $(I)$. Dễ dàng chứng minh được hai tam giác $BHC,BKC$ đối xứng nhau qua đường thẳng $BC$. Do vậy đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $BHC$ đối xứng với đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam gia $ABC$ qua $BC$

Suy ra $OI\perp BC\Rightarrow OI\parallel AH\left(AH\perp BC\right)(1)$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ đường kính $BIJ$ của $(I)$. Dễ thấy $AHCJ$ là hình bình hành nên $AH=CJ$. Mà $M$ là trung điểm của $BC$ và $O,I$ đối xứng nhau qua $BC$ nên $OI=2IM=CJ$ ($IM$ là đường trung bình của tam giác $BJC$)

Dẫn đến $OI=AH(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $AHOI$ là hình bình hành. Vì $E$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$ nên $E$ là trung điểm của $IH$, suy ra $E$ là trung điểm của $AO$. Điều này chứng tỏ $A,E,O$ thẳng hàng.

Bổ đề được chứng minh

Quay trở lại bài toán :

Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ tức $G$ là tâm đường tròn $Euler$ của tam giác $ABC$.

Dễ thấy tứ giác $BHFD$ nội tiếp nên $P_{N/(BFHD)}=\overline{NF}.\overline{ND}=\overline{NB}.\overline{NH}$

Mà $\overline{NF}.\overline{ND}=P_{N/(G)},\overline{NB}.\overline{NH}=P_{N/(O)}$

Suy ra $P_{N/(O)}=P_{N/(G)}$, tương tự $P_{M/(O)}=P_{M/(G)}$

Dẫn đến $MN$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $G$. Suy ra $MN\perp OG$

Mà $O,G,A$ thẳng hàng (theo bổ đề) nên $MN\perp OA$. Điều phải chứng minh.