System Of Equation

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^3(4y^2+1)+2(x^2+1)\sqrt{x}=6\\ x^{2}y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}\end{array}$

Lời giải :

Đặt $2y=t$ ta được hệ

$$\{\begin{array}{c}{x}^3(t^2+1)+2(x^2+1)\sqrt{x}=6(1)\\ x^2(t+t\sqrt{t^2+1})=x+\sqrt{x^2+1}(2)\end{array}$$

Nhận xét $(0,y)$ không là nghiệm của hệ. Xét $x\ne 0$. Chia hai vế của $(2)$ cho $x^2\ne 0$, ta được :

$$t+t\sqrt{t^2+1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}$$

Đặt $k=\frac{1}{x}$, dễ dàng thấy rằng $k,t>0$.

Khi đó ta thu được :

 $t+t\sqrt{t^2+1}$$=k+k\sqrt{k^2+1}$$\iff (t-k)+\frac{t^2(t^2+1)-k^2(k^2+1)}{t\sqrt{t^2+1}+k\sqrt{k^2+1}}$$=0$$\iff (t-k)\left(\frac{(t+k)(t^2+k^2+1)}{t\sqrt{t^2+1}+k\sqrt{k^2+1}}+1\right)$$=0$

Chú ý vì $k,t>0$ ta được $\frac{(t+k)(t^2+k^2+1)}{t\sqrt{t^2+1}+k\sqrt{k^2+1}}+1>0$ nên phải có $k=t$

Tức là $\frac{1}{x}=t\iff xt=1$

Thay vào $(1)$ thì được : $x+x^3+2(x^2+1)\sqrt{x}=6$

Đặt $\sqrt{x}=a>0$ thì được :

$$a^6+2a^5+a^2+2a=6$$

Nếu $a>1$ thì $a^6+2a^5+a^2+2a>6$. Nếu $0<a<1$ thì $a^6+2a^5+a^2+2a<6$. Do vậy $a=1$.

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$