Polynomial

Bài toán : Cho đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của $x$. Xét họ đa thức :

$$P_0(x)=1$$

$$P_1(x)=x$$

$$P_2(x)=\frac{x(x-1)}{2!}$$

$$...$$

$$P_n(x)=\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $b_0,b_1,...,b_n$ sao cho  $P(x)$ biểu diễn được dưới dạng :

$$P(x)=b_0{P}_0(x)+b_1{P}_1(x)+...+b_n{P}_n(x)$$

Lời giải :

Vì $P(x)$ nhận giá trị nguyên với mọi $x$ nguyên nên :

$$P(0)=k_0,P(1)=k_1,...,P(n-1)=k_{n-1}$$

Với $k_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0,n-1}$

Áp dụng công thức nội suy $Newton$ thì :

$P(x)$$={\alpha }_0+{\alpha }_{1}x+{\alpha }_{2}x(x-1)+{\alpha }_{3}x(x-1)(x-2)+...+{\alpha }_{n}x(x-1)(x-2)...(x-n+1)$$={\alpha }_0.P_0(x)+{\alpha }_1{P}_1(x)+2!.{\alpha }_2{P}_2(x)+3!{\alpha }_3.P_3(x)+...+n!.{\alpha }_n{P}_n(x)$

Khi đó ta chọn

$$b_0={\alpha }_0,b_1={\alpha }_1,b_2=2!{\alpha }_2,b_3=3!{\alpha }_3,...,b_n=n!{\alpha }_n$$

Thì ta có ngay :

$$P(x)=b_0{P}_0(x)+b_1{P}_1(x)+...+b_n{P}_n(x)$$

Hơn nữa ta có ${\alpha }_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0,n}$

Thật vậy,

$$P(0)={\alpha }_0\in \mathbb{Z}$$

$$P_1={\alpha }_0+{\alpha }_1\in \mathbb{Z}$$ mà $${\alpha }_0\in \mathbb{Z}$$ nên $${\alpha }_1\in \mathbb{Z}$$

…Tiếp tục như thế thì ta có ${\alpha }_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0,n}$

Từ đó dẫn đến :

$$b_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0,n}$$

Ta có điều phải chứng minh.