System Of Equation

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}(x+7y)\sqrt{x}+(y+7x)\sqrt{y}=8\sqrt{2xy(x+y)}\\ 2(1-y)\sqrt{x^2+2x-1}=y^2-2x-1\end{array}$.

Lời giải :

Đặt $\sqrt{x}=a\ge 0,\sqrt{y}=b\ge 0$, phương trình đầu trở thành $(a+b)(a^2+b^2+6ab)=8\sqrt{2a^2{b}^2(a^2+b^2)}$

Theo $AM-GM$ :

$(a+b)(a^2+b^2+6ab)$$=8\sqrt{2a^2{b}^2(a^2+b^2)}$$=4\sqrt{ab}.\sqrt{2ab(a^2+b^2)}$$\le 4\sqrt{ab}(a+b{)}^2$$\iff a^2+b^2+6ab$$\le 4a\sqrt{ab}+4b\sqrt{ab}$$\iff {\left(\frac{a}{b}\right)}^2+1+6.\frac{a}{b}$$\le \frac{4a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}+4.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$\iff t^4-4t^3+6t^2-4t+1$$\le 0,\left(t=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)$

Chia hai vế cho $t^2\ne 0$ ta được :

$t^2-4t+6-\frac{4}{t}+\frac{1}{t^2}$$\le 0$$\iff {\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2-4\left(t+\frac{1}{t}\right)+4$$\le 0$$\iff {\left(t+\frac{1}{t}-2\right)}^2$$\iff t+\frac{1}{t}$$=2$$\iff t$$=1$$\iff a$$=b$$\iff x$$=y$

Thay vào phương trình sau của hệ :

$$2\left(1-x\right)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1\iff (x^2+2x-1)+2(x-1)\sqrt{x^2+2x-1}-4x=0$$

Đặt $\sqrt{x^2+2x-1}=a\ge 0$ ta được phương trình $a^2+2(x-1)a-4x=0\iff (a-2)(a+2x)=0$

Nếu $a=2$ ta được $x^2+2x-1=4$, dẫn đến $x=-1\pm \sqrt{6}$

Nếu $a=-2x$ thì mâu thuẫn vì $x\ge 0$.

Thử lại, ta kết luận tập nghiệm của phương trình $S=\left\{\left(x,y\right)=\left(-1+\sqrt{6},-1+\sqrt{6}\right)\right\}$