Bài 1 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} P(x)=\dfrac{1}{2}\left [ P(x+1)+P(x-1) \right ],\;\forall x\\ P(0)=0 \end{matrix}\right.\] Bài 2 : Cho $k\in \mathbb{Z},k>1$, tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn : \[xP(x-1)\equiv (x-k)P(x)\] Bài 3 : Tìm đa thức hệ số thực sao cho : \[\left\{\begin{matrix} P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-32}+32\\ P(2005)=2037 \end{matrix}\right.,\forall x\geq 0\] Bài 4 : Tìm đa thức $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn : \[f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)\] Với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn $xy+yz+zx=0$ Bài 5 : Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} P(a+b)=P(a)+7P(b)\\ ab(a+b)=2b^3 \end{matrix}\right.\] Bài 6 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn : \[P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=3P(a)+3P(b)+3P(c)\] Với mọi $a,b,c\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a+b+c=0$ Bài 7 Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn : \[P(x)P(y)=P^{2}\left ( \dfrac{x+y}{2} \right )-P^2\left ( \dfrac{x-y}{2} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)\] Bài 8 Tìm các đa thức có dạng $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, trong đó $a_i\in \left \{ -1,1 \right \},\;\forall i=\overline{0,n}$ và có các nghiệm đều là nghiệm thực. Bài 9 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn \[P(x^2)=P^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\] Bài 10 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn : \[P(x^2-2x)=P^2(x-2),\;\forall x\in \mathbb{R}\] Bài 11 Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn : \[P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1),\;\forall x\in \mathbb{R}\] Bài 12 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực và thỏa mãn : \[P^2(x)-2=2P(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(1)\] Bài 13 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : \[P(x)P(3x^2)=P(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)\] Bài 14 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn : \[P(x)P(x^2)=P(x^3),\;\forall x\in \mathbb{R}\] Bài 15 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn : \[P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )\leq P^2(1),\;\forall x> 0\]

Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức

Bài 1 : Tìm tất cả các đa thức $P (x)$ thỏa mãn :

${P (x) = \frac{1}{2} [P (x + 1) + P (x - 1)], \forall x P (0) = 0$

Bài 2 : Cho $k \in Z, k > 1$ , tìm tất cả các đa thức $P (x)$ thỏa mãn :

$x P (x - 1) \equiv (x - k) P (x)$

Bài 3 : Tìm đa thức hệ số thực sao cho :

${P (x) = P (x^{2} + 1) - 32 + 32 P (2005) = 2037, \forall x \geq 0$

Bài 4 : Tìm đa thức $f : R \to R$ và thỏa mãn :

$f (x - y) + f (y - z) + f (z - x) = 2 f (x + y + z)$

Với mọi $x, y, z \in R$ và thỏa mãn $x y + y z + z x = 0$

Bài 5 : Tìm đa thức $P (x)$ thỏa mãn :

${P (a + b) = P (a) + 7 P (b) ab (a + b) = 2 b^{3}$

Bài 6 : Tìm tất cả các đa thức $P (x)$ thỏa mãn :

$P (a - b) + P (b - c) + P (c - a) = 3 P (a) + 3 P (b) + 3 P (c)$

Với mọi $a, b, c \in R$ thỏa mãn $a + b + c = 0$

Bài 7 Tìm đa thức $P (x)$ thỏa mãn :

$P (x) P (y) = P^{2} (\frac{x + y}{2}) - P^{2} (\frac{x - y}{2}), \forall x, y \in R (1)$

Bài 8 Tìm các đa thức có dạng $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ , trong đó $a_{i} \in {- 1, 1}, \forall i = \overline{0, n}$ và có các nghiệm đều là nghiệm thực.

Bài 9 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn

$P (x^{2}) = P^{2} (x), \forall x \in R$

Bài 10 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :

$P (x^{2} - 2 x) = P^{2} (x - 2), \forall x \in R$

Bài 11 Tìm đa thức $P (x)$ hệ số thực thỏa mãn :

$P (x) P (2 x^{2} - 1) = P (x^{2}) P (2 x - 1), \forall x \in R$

Bài 12 Tìm tất cả các đa thức $P (x)$ hệ số thực và thỏa mãn :

$P^{2} (x) - 2 = 2 P (2 x^{2} - 1), \forall x \in R (1)$

Bài 13 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P (x) P (3 x^{2}) = P (3 x^{3} + x^{2}), \forall x \in R (1)$

Bài 14 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P (x) P (x^{2}) = P (x^{3}), \forall x \in R$

Bài 15 Tìm tất cả các đa thức $P (x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn :

$P (x) . P (\frac{1}{x}) \leq P^{2} (1), \forall x > 0$

Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức

Đề bài

Mô tả