Bài toán (Thi HSG Toán 12 vòng 2 năm 2013-2014 tỉnh Đồng Nai) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} f(4)=4\\ f(2m)=2f(m),\;\forall m\equiv 1\;(mod\;2)\\ f(m)<f(n),\;\forall m,n\in \mathbb{N}:m<n \end{matrix}\right.\] Lời giải : Ta có $2f(1)=f(2)<f(4)=4\Rightarrow 0\leq f(1)<2\Rightarrow f(1)\in \left \{ 0,1 \right \}$. Nếu $f(1)=0\Rightarrow f(2)=2f(1)=0$. Mâu thuẫn vì $f(1)<f(2)$. Do vậy $f(1)=1$ và $f(2)=2$. Mà $0\leq f\left ( 0 \right )<f(1)=1\Rightarrow f(0)=0$ Ta cũng có $2=f(2)<f(3)<f(4)=4\Rightarrow f(3)=3$. Ta chứng minh bằng quy nạp $f(n)=n,\;\forall n\in \mathbb{N}$. Với $0\leq n\leq 4$ thì khẳng định là hiển nhiên. Gỉa sử khẳng định đúng đến $k\geq 4$, xét với $k+1$ : $\bullet$ Trường hợp $k\equiv 0\;(mod\;4)$, đặt $k=4t\;\left ( t\in \mathbb{N}^* \right )$ Ta được \[f(k+1)<f(k+2)=f(2(2t+1))=2f\left ( 2t+1 \right )=2(2t+1)=k+2\]. Mặt khác \[f(k+1)>f(k-2)=f(2(2k-1))>2(2k-1)=k-2\] Dẫn đến $k-2<f(k+1)<k+2$. Suy ra $f(k+1)\in \left \{ k-1,k,k+1 \right \}$. Nhưng $f(k+1)>f(k)=k>f(k-1)=k-1$ nên phải có $f(k+1)=k+1$. $\bullet$ Trường hợp $k\equiv 1\;(mod\;4)$, đặt $k=4t+1\;\left ( t\in \mathbb{N}^* \right )$ Ta có \[f\left ( k+1 \right )=f(2(2t+1))=2f(2t+1)=2(2t+1)=k+1\] $\bullet$ Trường hợp $k\equiv 2\;(mod\;4)$, đặt $k=4t+2\;(t\in \mathbb{N}^*)$ Ta có \[f(k+1)>f(k)=f(2(2t+1))=2(2t+1)=k\] Và \[f(k+1)<f(k+4)=f(2(2t+3))=2(2t+3)=k+4\] Dẫn đến \[k<f(k+1)<k+4\Rightarrow f(k+1)\in \left \{ k+1,k+2,k+3 \right \}\] Nếu $f(k+1)=k+2$ thì $k+1=f(k+1)<f(k+2)<f(k+4)=k+4\Rightarrow f(k+2)=k+3$. Dẫn đến \[k+3=f(k+2)<f(k+3)<f(k+4)=k+4\]. Mâu thuẫn vì $f(k+3)\in \mathbb{N}$ Tương tự nếu $f(k+1)=k+3$ cũng sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy phải có $f(k+1)=k+1$. $\bullet$ Trường hợp $k\equiv 3\;(mod\;4)$, đặt $k=4t+3\;\left ( t\in \mathbb{N}^* \right )$ Ta có \[f(k+1)>f(k-1)=f(2(2t+1))=2(2t+1)=k-1\] Và \[f(k+1)<f(k+3)=f(2(2t+3))=2(2t+3)=k+3\] Dẫn đến \[k-1<f(k+1)<k+3\Rightarrow f(k+1)\in \left \{ k,k+1,k+2 \right \}\] Nếu $f(k+1)=k+2\Rightarrow k+2=f(k+1)<f(k+2)<f(k+3)=k+3$, mâu thuẫn vì $f(k+2)\in \mathbb{N}$ Mà $f(k+1)>f(k)=k$ nên suy ra $f(k+1)=k+1$ Trong các trường hợp ta đều có $f(k+1)=k+1$. Theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định $f(n)=n\;\forall n\in \mathbb{N}$ là đúng. Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(n)=n\;\forall n\in \mathbb{N}$

Functional Equation

Bài toán (Thi HSG Toán 12 vòng 2 năm 2013-2014 tỉnh Đồng Nai)

Tìm tất cả các hàm số $f : N \to N$ thỏa mãn :

⎩ ⎨ ⎧ f (4) = 4 f (2 m) = 2 f (m), \forall m \equiv 1 (m o d 2) f (m) < f (n), \forall m, n \in N : m < n

Lời giải :

Ta có $2 f (1) = f (2) < f (4) = 4 \Rightarrow 0 \leq f (1) < 2 \Rightarrow f (1) \in {0, 1}$ . Nếu $f (1) = 0 \Rightarrow f (2) = 2 f (1) = 0$ .

Mâu thuẫn vì $f (1) < f (2)$ . Do vậy $f (1) = 1$ và $f (2) = 2$ . Mà $0 \leq f (0) < f (1) = 1 \Rightarrow f (0) = 0$

Ta cũng có $2 = f (2) < f (3) < f (4) = 4 \Rightarrow f (3) = 3$ .

Ta chứng minh bằng quy nạp $f (n) = n, \forall n \in N$ . Với $0 \leq n \leq 4$ thì khẳng định là hiển nhiên.

Gỉa sử khẳng định đúng đến $k \geq 4$ , xét với $k + 1$ :

$∙$ Trường hợp $k \equiv 0 (m o d 4)$ , đặt $k = 4 t (t \in N^{*})$

Ta được

$f (k + 1) < f (k + 2) = f (2 (2 t + 1)) = 2 f (2 t + 1) = 2 (2 t + 1) = k + 2$ .

Mặt khác

$f (k + 1) > f (k - 2) = f (2 (2 k - 1)) > 2 (2 k - 1) = k - 2$

Dẫn đến $k - 2 < f (k + 1) < k + 2$ . Suy ra $f (k + 1) \in {k - 1, k, k + 1}$ .

Nhưng $f (k + 1) > f (k) = k > f (k - 1) = k - 1$ nên phải có $f (k + 1) = k + 1$ .

$∙$ Trường hợp $k \equiv 1 (m o d 4)$ , đặt $k = 4 t + 1 (t \in N^{*})$

Ta có

$f (k + 1) = f (2 (2 t + 1)) = 2 f (2 t + 1) = 2 (2 t + 1) = k + 1$

$∙$ Trường hợp $k \equiv 2 (m o d 4)$ , đặt $k = 4 t + 2 (t \in N^{*})$

Ta có

$f (k + 1) > f (k) = f (2 (2 t + 1)) = 2 (2 t + 1) = k$

Và

$f (k + 1) < f (k + 4) = f (2 (2 t + 3)) = 2 (2 t + 3) = k + 4$

Dẫn đến

$k < f (k + 1) < k + 4 \Rightarrow f (k + 1) \in {k + 1, k + 2, k + 3}$

Nếu $f (k + 1) = k + 2$ thì $k + 1 = f (k + 1) < f (k + 2) < f (k + 4) = k + 4 \Rightarrow f (k + 2) = k + 3$ .

Dẫn đến

$k + 3 = f (k + 2) < f (k + 3) < f (k + 4) = k + 4$ .

Mâu thuẫn vì $f (k + 3) \in N$

Tương tự nếu $f (k + 1) = k + 3$ cũng sẽ dẫn đến mâu thuẫn.

Như vậy phải có $f (k + 1) = k + 1$ .

$∙$ Trường hợp $k \equiv 3 (m o d 4)$ , đặt $k = 4 t + 3 (t \in N^{*})$

Ta có

$f (k + 1) > f (k - 1) = f (2 (2 t + 1)) = 2 (2 t + 1) = k - 1$

Và

$f (k + 1) < f (k + 3) = f (2 (2 t + 3)) = 2 (2 t + 3) = k + 3$

Dẫn đến

$k - 1 < f (k + 1) < k + 3 \Rightarrow f (k + 1) \in {k, k + 1, k + 2}$

Nếu $f (k + 1) = k + 2 \Rightarrow k + 2 = f (k + 1) < f (k + 2) < f (k + 3) = k + 3$ , mâu thuẫn vì $f (k + 2) \in N$

Mà $f (k + 1) > f (k) = k$ nên suy ra $f (k + 1) = k + 1$

Trong các trường hợp ta đều có $f (k + 1) = k + 1$ . Theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định $f (n) = n \forall n \in N$ là đúng.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f (n) = n \forall n \in N$