Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$, $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. $AD$ cắt $(I)$ tại $X$, $BX,CX$ theo thứ tự cắt $(I)$ tại $Y,Z$. $AY,AZ$ lần lượt cắt $I$ tại $R,S$. Chứng minh rằng $AD,ES,FR$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $K$ là giao điểm của $ES$ với $AD$. Ta có $(AXKD)=S(AXKD)=S(ZXED)$

Mặt khác ta thấy $ZXED$ là một tứ giác điều hòa và $S$ là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ZXED$, suy ra $S(ZXED)=-1\Rightarrow (AXKD)=-1$

Tương tự, nếu gọi $K^{\prime }$ là giao điểm của $FR$ với $AD$ thì $\left(AX{K}^{\prime }D\right)=-1$.

Như vậy $\left(AX{K}^{\prime }D\right)=(AXKD)\Rightarrow K\equiv K^{\prime }$. Hay $AD,ES,FR$ đồng quy.