Geometry

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$ cắt $CD$ tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDM$ cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.

Lời giải :

Khi $AB\parallel CD$ thì kết quả là hiển nhiên. Xét $AB,CD$ không song song. Gọi $W=AB\cap CD$.

Ta có $A,B,C,D$ đồng viên nên $\overline{WA}.\overline{WB}=\overline{WD}.\overline{WC}$

Ta có $A,B,P,N$ đồng viên nên $\overline{WA}.\overline{WB}=\overline{WP}.\overline{WN}$

Suy ra $\overline{WP}.\overline{WN}=\overline{WC}.\overline{WD}$ mà $N$ là trung điểm của $CD$ nên theo hệ thức $Maclaurin$ ta có $(WPCD)=-1$. Tương tự $(WQAB)=-1$

Suy ra $\left(WPCD\right)=\left(WQAB\right)$, như vậy $PQ,AC,BD$ đồng quy.