Geometry

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. $E,F$ lần lượt là giao điểm của các cặp $(AB,CD),(AD,BC)$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao của $AC,BD$ với $EF$. Chứng minh rằng $M,N,P,Q$ đồng viên.

Lời giải :

Gọi $I$ là giao điểm của $AC,BD$. Gọi $L$ là giao điểm của $FI$ với $DC$.

Ta có $(ELDC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần)

Qua phép chiếu xuyên tâm $F$ ta được $(PIAC)=-1$. Vì $M$ là trung điểm của $AC$ nên theo hệ thức $Maclaurin$ :

$$\overline{IP}.\overline{IM}=\overline{IA}.\overline{IC}$$

Hoàn toàn tương tự : $\overline{IQ}.\overline{IN}=\overline{IB}.\overline{ID}$

Mà $\overline{IA}.\overline{IC}=P_{I/ABCD}=\overline{IB}.\overline{ID}$

Dẫn đến $\overline{IN}.\overline{IQ}=\overline{IP}.\overline{IM}$

Điều này chứng tỏ $M,N,P,Q$ đồng viên.