1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho : Chứng minh rằng Lời giải : Ta thấy Nên ta dự đoán Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp. Ta thấy khẳng định trên đúng với . Gỉa sử khẳng định đúng đến , xét với : Theo nguyên lí quy nạp thì công thức với mọi . Từ […]
Bài toán : Tìm biết Lời giải : Gọi số hạng thứ của dãy là . Ta có : Như vậy
Bài toán : Cho dãy Tính . Lời giải : Lần lượt tính được : . Ta dự đoán trong đó là số hạng thứ của dãy . Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp, giả sử công thức đúng đến . Từ giả thiết đề bài : Như vậy ta có Ta […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Tìm tất cả các hàm số sao cho với mọi ta có : Lời giải : Nếu tồn tại sao cho . Đây là điều mâu thuẫn. Dẫn đến , kéo theo Suy ra Mặt khác ta có Do […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số sao cho Lời giải : Ta chứng minh là đơn ánh. Thật vậy, giả sử Ta có Như vậy, là đơn ánh. Với mọi : Dẫn đến Từ đó lần lượt có : Cộng vế theo vế các đẳng thức trên : Thay vào phương trình […]
Bài toán (CĐT HSG vòng 2 THPT Chuyên Nguyễn Du Đắc Lắc, 2013-2014) Giải phương trình Lời giải : Đặt ta được Lại đặt thì được Như vậy ta được hệ hoán vị vòng quanh : Không mất tính tổng quát, ta giả sử . Ta có : Từ đó ta thu được , dẫn đến . […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, tỉnh Phú Yên) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện : Lời giải : Trong cho được . Trong cho được . Trong cho được Từ đó ta được : Mặt khác nếu thì : Như vậy Theo […]
Bài toán (THTT số 417) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong thay bởi được : Trong đổi chỗ ta được : Từ ta được : . Thay vào được , dẫn đến . Kết luận : Có duy nhất một hàm số thỏa đề là .
Bài toán : Tìm các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong thay bởi : Trong đổi chỗ được : Từ suy ra : Từ đây suy ra : . Thử lại không thỏa. Kết luận : Không tồn tại hàm số thỏa đề.
Bài toán : Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . a) Chứng minh rằng đồng quy tại . b) Chứng minh rằng Lời giải : a) Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Gọi là giao điểm của Trong mặt phẳng : Xét tam giác : […]
Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lí Tự Trọng, Tp Cần Thơ) Tồn tại hay không hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Bổ đề : Nếu hàm số thỏa mãn thì . Chứng minh bổ đề : Trong cho được . Ta chứng minh bằng quy […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong cho được Gỉa sử và thỏa : Do đó là đơn ánh. Đặt thì trong cho được : Áp dụng và : Do là […]
Bài toán : Tìm tất cả các đa thức nhận làm một nghiệm. Chứng minh Lời giải : Ta có : Thu gọn, ta được : Ta chứng minh đa thức là đa thức có bậc nhỏ nhất mà có nghiệm . Gỉa sử tồn tại một đa thức không đồng nhất có bậc không lớn hơn […]
Bài toán : Cho tứ diện . Gọi là trung điểm của . Cho là điểm đối xứng của qua . Mặt phẳng lần lượt cắt tại . a) Chứng minh rằng đồng quy. b) Chứng minh rằng đi qua trung điểm của của . Lời giải : a) Gọi là giao điểm của . […]
Bài toán : Cho hình chóp có đáy là tứ giác có các cạnh đối không song song. Gọi là trung điểm của . Gọi là giao điểm của và mặt phẳng . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Gọi là giao điểm của Gọi là giao điểm của . Gọi là giao […]
Bài toán : Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Gỉa sử khả quy trên , đặt : Trong đó Gỉa sử trong đó và Gọi là nghiệm thực (hay phức) của . Khi đó ta có […]
Bài toán : Chứng minh rằng chia hết cho với . Lời giải : Bổ đề : Với nguyên tố và là số nguyên dương, ta có . Chứng minh bổ đề : Nếu mà vì nguyên tố nên có , từ đó Nếu ta đặt , dẫn đến , nhưng nếu thì , mâu thuẫn vì nguyên tố, do […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt ta được phương trình hàm : Trong cho ta được Trong cho ta được : , kéo theo hay Trong cho được : Do đó ta […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Giải hệ phương trình Lời giải : Biến đổi phương trình đầu thành : Thay vào phương trình sau được : Giải tiếp như bài này. Kết luận : Nghiệm của hệ là
Bài toán (Kiểm tra đội tuyển lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2012-2013). Cho đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc lần lượt tại . Đường thẳng qua song song với cắt tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng : vuông góc với . Lời giải […]