Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x+y)+f(x-y))=2x,\forall x,y\in \mathbb{Q}$$

Lời giải :

Đặt $m=x+y,n=x-y$ ta được phương trình hàm :

$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n\in \mathbb{Q}(1)$$

Trong $(1)$ cho $m=n=0$ ta được $f(2f(0))=0$

Trong $(1)$ cho $m=n=2f(0)$ ta được : $f(2f(2f(0)))=4f(0)$, kéo theo $f(0)=4f(0)$ hay $f(0)=0$

Trong $(1)$ cho $n=0$ được :

$$f(f(m)+f(0))=m,\forall m\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(f(m))=m,\forall m\in \mathbb{Q}$$

Do đó ta viết $(1)$ thành :

$f(f(m)+f(n))$$=f(f(m))+f(f(n)),\forall m,n\in \mathbb{Q}$$\iff f(m+n)$$=f(m)+f(n),\forall m,n\in \mathbb{Q}$

Đây là phương trình hàm $Cauchy$, ta được $f(n)=an,\forall n\in \mathbb{Q}$.

Thay vào $(1)$ được $a=1$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}$