Xác định dãy số

Bài toán : Cho $(u_n)$ : $\{\begin{array}{c}{u}_0=u_1=u_2=1\\ u_{n+3}.u_n-u_{n+1}{u}_{n+2}=n!\end{array}$

Chứng minh rằng $u_n\in \mathbb{Z},\forall n$

Lời giải :

Ta thấy $u_3=2,u_4=3.1,u_5=4.2,u_6=\mathrm{5.3.1},u_7=\mathrm{6.4.2},u_8=\mathrm{7.5.3.1},...$

Nên ta dự đoán $u_n=(n-1)(n-3)(n-5)...$

Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp. Ta thấy khẳng định trên đúng với $3\le n\le 8$. Gỉa sử khẳng định đúng đến $n+2$, xét với $n+3$ :

$u_{n+3}$$=\frac{n!+u_{n+2}{u}_{n+1}}{u_n}$$=\frac{n!+(n+1)(n-1)(n-3)...n(n-2)(n-4)...}{(n-1)(n-3)(n-5)...}$$=\frac{n!+(n+1)!}{(n-1)(n-3)(n-5)}$$=\frac{n!(n+2)}{(n-1)(n-3)(n-5)...}$$=(n+2)n(n-2)(n-4)...$

Theo nguyên lí quy nạp thì công thức  $u_n=(n-1)(n-3)(n-5)...$ với mọi $n\ge 3$.

Từ đó thấy được $u_n\in \mathbb{Z},\forall n$