Hình học không gian

Bài toán : Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD,CDA,DAB,ABC$. 

a) Chứng minh rằng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ đồng quy tại $I$.

b) Chứng minh rằng $\frac{I{A}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}+\frac{I{B}^{\prime }}{B{B}^{\prime }}+\frac{I{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}+\frac{I{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}=1$

Lời giải :

a) Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,AB$. Gọi $I$ là giao điểm của $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$

Trong mặt phẳng $(ABM)$ :

Xét tam giác $ABM$ :

$$\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }M}.\frac{B^{\prime }M}{B^{\prime }A}.\frac{NA}{NB}=2.\frac{1}{2}.1=1$$

Do đó theo định lí $Ceva$ ta có $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },MN$ đồng quy tại $I$.

Theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $AB{A}^{\prime }$ và đường thẳng $NIM$ :

$$\frac{NA}{NB}.\frac{MB}{M{A}^{\prime }}.\frac{I{A}^{\prime }}{IA}=1\Rightarrow \frac{I{A}^{\prime }}{IA}=\frac{1}{3}$$

Tương tự gọi $I^{\prime },I^{\prime \prime }$ lần lượt là giao của $A{A}^{\prime }$ với $C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ thì ta được :

$$\frac{I{A}^{\prime }}{IA}=\frac{I^{\prime }{A}^{\prime }}{I^{\prime }A}=\frac{I^{\prime \prime }{A}^{\prime }}{I^{\prime \prime }A}=\frac{1}{3}$$

Từ đó ta có $I\equiv I^{\prime }\equiv I^{\prime \prime }$, điều này đồng nghĩa $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ đồng quy.

b) Từ câu $a$ ta có $\frac{I{A}^{\prime }}{IA}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{I{A}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{4}$

Dẫn đến :

$$\frac{I{A}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}+\frac{I{B}^{\prime }}{B{B}^{\prime }}+\frac{I{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}+\frac{I{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}=1$$