Xác định dãy số

Bài toán : Cho dãy $(u_n):\{\begin{array}{c}{u}_1=u_2=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2+1}{u_{n-1}}\end{array}$

Tính $u_n$.

Lời giải :

Lần lượt tính được :

$$u_3=2$$

$$u_4=5=1^2+2^2$$

$$u_5=13=3^2+2^2$$

$$u_6=34=5^2+3^2$$.

Ta dự đoán $u_n=x_{n-1}^2+x_{n-2}^2$ trong đó $x_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)$ là số hạng thứ $n$ của dãy $Fibonacci$.

Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp, giả sử công thức đúng đến $n$.

Từ giả thiết đề bài :

$$u_n^2+1=u_{n-1}{u}_{n+1}\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}{u}_n^2+1=u_{n-1}{u}_{n+1}& & \\ u_{n+1}^2+1=u_n{u}_{n+2}& & \end{array}\Rightarrow u_n^2-u_{n+1}^2=u_{n-1}{u}_{n+1}-u_n{u}_{n+2}\Rightarrow u_n(u_n+u_{n+2})=u_{n+1}(u_{n+1}+u_{n-1})\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n+u_{n+2}}=\frac{u_n}{u_{n-1}+u_{n+1}}=...=\frac{u_2}{u_1+u_3}=\frac{1}{3}$$

Như vậy ta có $u_{n+1}=3u_n-u_{n-1}$

Ta xét với $n+1$ :

$$u_{n+1}=3u_n-u_{n-1}=3(x_{n-1}^2+x_{n-2}^2)-(x_{n-2}^2+x_{n-3}^2)=3x_{n-1}^2+2x_{n-2}^2-x_{n-3}^2$$

Mặt khác theo tính chất của dãy $Fibonacci$ :

$$\{\begin{array}{c}{x}_n=x_{n-1}+x_{n-2}\\ x_{n-1}=x_{n-2}+x_{n-3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{n-2}=x_n-x_{n-1}\\ x_{n-3}=2x_{n-1}-x_n\end{array}$$

Suy ra :

$$u_{n+1}=3x_{n-1}^2+2{\left(x_n-x_{n-1}\right)}^2-(2x_{n-1}-x_n{)}^2=x_n^2+x_{n-1}^2$$

Theo nguyên lí quy nạp, công thức $u_n=x_{n-1}^2+x_{n-2}^2$ là đúng.

Kết luận : $u_n=x_{n-1}^2+x_{n-2}^2$ trong đó $x_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)$ là số hạng thứ $n$ của dãy $Fibonacci$.