Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho với mọi $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ta có :

$$i)f(n+1)\ge f(n)$$

$$ii)f(f(n))=n+2012$$

Lời giải :

Nếu tồn tại $n$ sao cho $f(n+1)=f(n)\Rightarrow f(f(n+1))=f(f(n))\Rightarrow (n+1)+2012=n+2012$. Đây là điều mâu thuẫn.

Dẫn đến $f(n+1)>f(n)$, kéo theo $f(n+1)\ge f(n)+1,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Suy ra $f(n+2012)\ge f(n+2011)+1\ge f(n+2010)+2\ge ...\ge f(n)+2012(1)$

Mặt khác ta có $f(f(f(n)))=f(n+2012)\Rightarrow f(n)+2012=f(n+2012)(2)$

Do $(2)$ nên dấu bằng phải xảy ra ở $(1)$, tức là $f(n+1)=f(n)+1,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Từ đó :

$f(n+1)$$=f(n)+1$$=f(n-1)+2$$=f(n-2)+3$$=...$$=f(1)+n,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$\Rightarrow f(n)$$=f(1)+n-1,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$\Rightarrow f(n)$$=n+a,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}\left(a=f(1)-1\right)$

Thay vào $ii)$, được :

$$(n+a)+a=n+2012\Rightarrow a=1006$$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(n)=n+1006,\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$