Functional Equation

Bài toán : Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f\left(f(y+f(x))\right)=f(x+y)+f(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(y)$ :

$$f(f(f(y)+f(x)))=f(x+f(y))+f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(2)$ đổi chỗ $x,y$ được :

$$f(f(f(x)+f(y)))=f(y+f(x))+f(y)+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(3)$$

Từ $(2)(3)$ suy ra :

$f(x+f(y))$$=f(y+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(f(x+f(y)))$$=f(f(y+f(x))),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x+y)+f(x)+y$$=f(y+x)+f(y)+x,\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x)-x$$=f(y)-y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Từ đây suy ra : $f(x)=x+c,\forall x\in \mathbb{R}$.

Thử lại không thỏa.

Kết luận : Không tồn tại hàm số thỏa đề.