Geometry

Bài toán (Kiểm tra đội tuyển lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2012-2013).

Cho đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $K$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng : $IM$ vuông góc với $DK$.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, các tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ lần lượt là $D,E,F$. $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $ID,EF,AM$ đồng quy.

Chứng minh tại đây

Quay trở lại bài toán :

Theo bổ đề ta có $AM,EF,ID$ đồng quy tại $G$.

Ta có $AK\parallel BC,BM=CM$ nên $A(BCMK)=-1$.

Kéo theo $A(EFKG)=D(EFKG)=-1$

Qua $I$ kẻ tia $Ix$ song song với $BC$. Tương tự trên ta có $(Ix,IM,IC,IB)=-1$

Suy ra $(Ix,IM,IC,IB)=(DG,DK,DE,DF)=-1$. Kết hợp với $DI\perp Ix,DF\perp IB,DE\perp IC$ ta suy ra $DK\perp IM$