Functional Equation

Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lí Tự Trọng, Tp Cần Thơ) 

Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y\in \mathbb{Q}(\ast )$$

Lời giải :

Bổ đề : Nếu hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(x+y)=f(x)+f(y)(1)$ thì $f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{Q}$.

Chứng minh bổ đề :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.

Ta chứng minh bằng quy nạp khẳng định sau :

$$f(kx)=kf(x),\forall x\in \mathbb{Q},k\in \mathbb{N}$$.

Với $k=0$ thì khẳng định đúng. Gỉa sử khẳng định đúng đến $k$, xét với $k+1$ :

$$f((k+1)x)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)f(x)$$

Mặt khác trong $(1)$ cho $x=-y$ được :

$$f(0)=f(x)+f(-x),\forall x\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(-x)=-f(x),\forall x\in \mathbb{Q}$$

Do đó : $f(-kx)=-f(kx)=-kf(x)$

Từ đó dẫn đến :

$$f(kx)=kf(x),\forall x\in \mathbb{Q},k\in \mathbb{Z}(2)$$

Trong $(2)$ cho $x=\frac{1}{k}$ thì được :

$$f(1)=kf\left(\frac{1}{k}\right)\Rightarrow f\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{f(1)}{k}$$

Với $m,n\in \mathbb{Z}$ thì :

$f\left(\frac{m}{n}\right)$$=f\left(m.\frac{1}{n}\right)$$=mf\left(\frac{1}{n}\right)$$=\frac{m}{n}.f(1)$

Suy ra $f(x)=f(1)x=cx,\forall x\in \mathbb{Q}$

Bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Gỉa sử $\exists t_1,t_2\in \mathbb{Q}:f(t_1)=f(t_2)$

Khi đó $1+f(t_1)=1+f(t_2)\Rightarrow f(1+f(t_1))=f(1+f(t_2))\Rightarrow f(1)-t_1=f(1)-t_2\Rightarrow t_1=t_2$

Điều này chứng tỏ $f$ là đơn ánh.

Từ đó, trong $(\ast )$ cho $x=y=0$ được $f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$ (do $f$ là đơn ánh)

Trong $(\ast )$ cho $x=0$ được $f(f(y))=-y,\forall y\in \mathbb{Q}$

Từ đó được phương trình hàm :

$f(x+f(y))$$=f(x)+f(f(y)),\forall x,y\in \mathbb{Q}$$\Rightarrow f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Theo bổ đề trên thì $f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{Q}$. Thay vào $(\ast )$ :

$c(x+cy)=cx-y,\forall x,y\in \mathbb{Q}\Rightarrow c^2=-1$ (vô lí)

Kết luận : Không tồn tại hàm số thỏa đề.