Functional Equation

Bài toán (THTT số 417) Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$f(x)f(yf(x))=f(y+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(y)$ được :

$$f(x)f(f(y)f(x))=f(f(y)+f(x)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(2)$$

Trong $(2)$ đổi chỗ $x,y$ ta được :

$$f(y)f(f(x)f(y))=f(f(x)+f(y)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(3)$$

Từ $(2)(3)$ ta được :

$$f(x)=f(y),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}\Rightarrow f(x)\equiv c\in {\mathbb{R}}^{+}$$.

Thay vào $(1)$ được $c^2=c$, dẫn đến $c=1$.

Kết luận : Có duy nhất một hàm số thỏa đề là $f(x)\equiv 1$.