Functional Equation

Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, tỉnh Phú Yên)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f(x^2-y)=xf(x)-f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $y=0$ được $f(x^2)=xf(x),\forall x\in \mathbb{R}(\ast )$.

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$

Từ đó ta được :

$f(x^2-y)$$=f(x^2)+f(-y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\ge 0$

Mặt khác nếu $x<0$ thì : $f(y)=f\left((x+y)-x\right)=f(x+y)+f(-x)=f(x+y)-f(x)$

Như vậy $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(\ast \ast )$

Theo $(\ast )$ và $(\ast \ast )$ ta có :

$$f\left((x+1{)}^2\right)=(x+1)f(x+1)=(x+1)\left(f(x)+f(1)\right),\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f\left((x+1{)}^2\right)=f(x^2+x+x+1)=f(x^2)+2f(x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1),\forall x\in \mathbb{R}$$

Suy ra :

$xf(x)+2f(x)+f(1)$$=(x+1)\left(f(x)+f(1)\right),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x)$$=f(1)x$$=ax,\forall x\in \mathbb{R}$

Thử lại thoả mãn.

Kết luận : Hàm số thỏa đề là $f(x)=ax,\forall x\in \mathbb{R}$