Irrational Equation

Bài toán (CĐT HSG vòng 2 THPT Chuyên Nguyễn Du Đắc Lắc, 2013-2014) 

Giải phương trình $x=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt[3]{3x+2}=y$ ta được $x=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3y+2}+2}$

Lại đặt $\sqrt[3]{3y+2}=z$ thì được $x=\sqrt[3]{3z+2}$

Như vậy ta được hệ hoán vị vòng quanh :

$$\{\begin{array}{c}{x}^3=3z+2\\ y^3=3x+2\\ z^3=3y+2\end{array}$$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x=max\left\{x,y,z\right\}$.

Ta có :

$x$$\ge y$$\Rightarrow x^3$$\ge y^3$$\Rightarrow 3z+2$$\ge 3x+2$$\Rightarrow z$$\ge x$$\Rightarrow z^3$$\ge x^3$$\Rightarrow 3y+2$$\ge 3z+2$$\Rightarrow y$$\ge z$

Từ đó ta thu được $x\ge y\ge z\ge x$, dẫn đến $x=y=z$.

Dẫn đến phương trình $x^3-3x-2=0\iff (x-2)(x+1{)}^2=0\iff x\in \left\{-1,2\right\}$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $S=\left\{(x,y,z)=(-1,-1,-1),(2,2,2)\right\}$