Hình học không gian

Bài toán : Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ là trung điểm của $AC,BD$. Cho $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $D$. Mặt phẳng $(EMN)$ lần lượt cắt $BC,AD$ tại $P,Q$. 

a) Chứng minh rằng $AB,MP,NQ$ đồng quy.

b) Chứng minh rằng $MN$ đi qua trung điểm của $J$ của $PQ$.

Lời giải :

a) Gọi $S$ là giao điểm của $AB,MP$. Ta chứng minh $N,Q,S$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ACD$ và đường thẳng $MQE$ :

$$\frac{QD}{QA}.\frac{MA}{MC}.\frac{EC}{ED}=1$$

Chú ý $MA=MC,EC=2ED$, ta có $\frac{QD}{QA}=\frac{1}{2}(1)$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $BCD$ và đường thẳng $PNE$ :

$$\frac{PC}{PB}.\frac{NB}{ND}.\frac{ED}{EC}=1$$

Chú ý $NB=ND,EC=2ED$ ta được $\frac{PC}{PB}=2$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $MPS$ :

$$\frac{SA}{SB}.\frac{PB}{PC}.\frac{MC}{MA}=1$$

Mà $MA=MC$ và $\frac{PC}{PB}=2$ nên $\frac{SA}{SB}=2(2)$

Áp dụng $(1)$ và $(2)$ :

Xét tam giác $ABD$ và ba điểm $N,Q,S$ :

$$\frac{QD}{QA}.\frac{SA}{SB}.\frac{NB}{ND}=\frac{1}{2}.2.1=1$$

Theo định lí $Menelaus$ ta có $N,Q,S$ thẳng hàng.

Dẫn đến $AB,MP,NQ$ đồng quy.

b) Gọi $J$ là giao điểm của $MN,PQ$.

Bằng cách áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $EPC$ và đường thẳng $BDN$ ta tính được $\frac{PN}{PE}=\frac{1}{4}$

Bằng cách áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $EMC$ và đường thẳng $AQD$ ta tính được $\frac{QE}{QM}=2$.

Từ đó theo định lí $Menelaus$ cho tam giác $PQE$ và đường thẳng $MIN$ :

$$\frac{PN}{PE}.\frac{QE}{QM}.\frac{JQ}{JP}=1$$

Kéo theo $\frac{JQ}{JP}=1$ hay $JQ=JP$.

Tức $J$ là trung điểm của $PQ$, vậy $MN$ đi qua trung điểm của $PQ$.