Hình học không gian

Bài toán : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là tứ giác có các cạnh đối không song song. Gọi $M$ là trung điểm của $S C$ . Gọi $N$ là giao điểm của $S D$ và mặt phẳng $(A B M)$ . Chứng minh rằng $M N, A B, C D$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $J$ là giao điểm của $A B, C D$

Gọi $O$ là giao điểm của $A C, B D$ . Gọi $I$ là giao điểm của $A M, S O$ . $B I$ cắt $S D$ tại một điểm, điểm đó chính là giao điểm $N$ của $S D$ với $m p (A B M)$ .

Áp dụng định lí $M e n e l a u s$ cho tam giác $S O D$ và đường thẳng $N I B$ :

$\frac{N D}{N S} . \frac{I S}{I O} . \frac{B O}{B D} = 1 (1)$

Áp dụng định lí $M e n e l a u s$ cho tam giác $S O C$ và đường thẳng $M I A$ :

$\frac{I S}{I O} . \frac{A O}{A C} . \frac{M C}{M S} = 1$ .

Chú ý $M C = M S$ ta có $\frac{I S}{I O} = \frac{A C}{A O} (2)$

Từ $(1), (2)$ ta được :

$\frac{N D}{N S} . \frac{A C}{A O} . \frac{B O}{B D} = 1 (3)$

Áp dụng định lí $M e n e l a u s$ cho tam giác $D O C$ và đường thẳng $J A B$ :

$\frac{J D}{J C} . \frac{A C}{A O} . \frac{B O}{B D} = 1 (4)$

Từ $(3) (4)$ ta có $\frac{J D}{J C} = \frac{N D}{N S}$ .

Xét tam giác $S D C$ và ba điểm $J, M, N$ :

$\frac{J D}{J C} . \frac{M C}{M S} . \frac{N S}{N D} = 1$

Theo định lí $M e n e l a u s$ ta có $M, I, N$ thẳng hàng.

Điều này đồng nghĩa $M N, A B, C D$ đồng quy.

Hình học không gian

Đề bài

Mô tả