Xác định dãy số

Bài toán : Tìm $u_n$ biết $(u_n):1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...$

Lời giải :

Gọi số hạng thứ $m$ của dãy là $n$.

Ta có :

$1+2+3+...+(n-1)+1$$\le m$$\le 1+2+3+...+n$$\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}+1$$\le m$$\le \frac{n(n+1)}{2}$$\Rightarrow n^2-n+2$$\le 2m$$\le n^2+n$$\Rightarrow {\left(n-\frac{1}{2}\right)}^2$$<2m$$<{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^2$$\Rightarrow n-\frac{1}{2}$$<\sqrt{2m}$$<n+\frac{1}{2}$$\Rightarrow n$$<\sqrt{2m}+\frac{1}{2}$$<n+1$$\Rightarrow n$$=\lfloor \sqrt{2m}+\frac{1}{2}\rfloor$

Như vậy $a_n=\lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2}\rfloor$